Inligting

Reproduksienommer van 'n SIR-model met mortaliteit

Reproduksienommer van 'n SIR-model met mortaliteit


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Ons weet dat reproduksienommer $mathcal{R}_0$ $frac{alpha}{eta}$ is vir die volgende stelsel, so dat as $mathcal{R}_0>1$, daar 'n epidemie in die bevolking.

Aanvaar nou die stelsel hieronder met sterftesyfer van $delta$:

Ek wonder watter een van die opsies hieronder verteenwoordig ${R}_0$?

  1. ${R}_0 = frac{alpha}{eta + delta}$
  2. ${R}_0 = frac{alpha}{eta delta}$
  3. ${R}_0 = frac{alpha}{eta}+frac{alpha}{delta}$

Kan jy die regte opsie met sy regverdiging merk?

Dankie


Die enigste antwoord wat numeries sin maak is 1. Die produk van twee koerse beta en delta (herstel * dood) beteken niks in SIR nie. En in antwoord drie verdubbel jy die tempo van infeksie (alfa). As jy na die ander kant kyk, vir R_0 maak dit nie saak hoe mense die Infected-klas verlaat nie, sodra jy óf dood óf herstel is, dra jy nie meer die siekte oor nie. Daarom kan jy sê dat 'n sekere waarde Zeta die uitgang van die Infected-klas is en Zeta sal die som van alle tariewe wees wat 'n persoon daarvan verwyder om aansteeklik te wees


Toegegee, ek het nog nie met SIR-modelle gewerk nie, maar vir my is die antwoord beslis nr. 1.

Fundamenteel word $R_0$ gedefinieer as die aantal sekondêre infeksies van 'n enkele individu in 'n onbesmette bevolking. Dit word soms beskryf as:

$ R_0 = gamma *c * d $,

waar $gamma$ die waarskynlikheid is om die siekte oor te dra, $c$ die gemiddelde kontaktempo (ontmoetingstempo met ander individue) is en $d$ die gemiddelde lengte wat aansteeklik is (wat $1/eta$ is, daar $ beta$ is die herstelkoers). In jou uitdrukking hierbo $alpha = gamma*c$.

In hierdie eenvoudige model van $R_0$ is die byvoeging van 'n sterftesyfer basies gelyk aan die toevoeging van 'n ander manier om van aansteeklik verwyder te word (jy kan óf herstel óf sterf). Daarom is die verwagte tyd om aansteeklik te wees (voorheen $1/eta$) nou die som van twee koerse, $1/(eta + delta)$, waar $delta$ die sterftesyfer is (vermenigvuldiging van die twee koerse sal wees soortgelyk aan die skat van die waarskynlikheid dat iemand beide herstel en van die infeksie sterf). Dit beteken dat $R_0$ met 'n sterftesyfer:

$$ R_0 = frac {gamma c}{eta+delta} = frac {alpha}{eta+delta}$$

Daar is egter ook meer ingewikkelde (en realistiese) maniere om situasies met 'n sterftesyfer te modelleer.

(Ek het my antwoord begin voor @Artems mooi antwoord, en daarom plaas ek dit as 'n aanvullende antwoord.)


Skat die tydsveranderende reproduksiegetal van COVID-19 met 'n staat-ruimte-metode

Nadat die verspreiding van die nuwe koronavirus COVID-19 vertraag het, het baie lande hul bevallingsmaatreëls begin verslap in die lig van kritieke skade aan sosio-ekonomiese strukture. Op hierdie stadium is dit wenslik om te monitor in watter mate politieke maatreëls of maatskaplike aangeleenthede invloed op die verspreiding van siektes uitgeoefen het. Alhoewel dit moeilik is om individuele oordrag van infeksies waarvan die inkubasietydperke lank en hoogs veranderlik is terug te spoor, is die skatting van die gemiddelde verspreidingstempo moontlik as 'n behoorlike wiskundige model bedink kan word om daaglikse gebeurtenis-voorvalle te ontleed. Om 'n akkurate beoordeling te lewer, het ons 'n toestand-ruimte-metode ontwerp om 'n diskrete-tydvariant van die Hawkes-proses by 'n gegewe datastel van daaglikse bevestigde gevalle te pas. Die voorgestelde metode bespeur veranderinge wat in elke land plaasvind en beoordeel die impak van sosiale gebeurtenisse in terme van die tydelik wisselende voortplantingsgetal, wat ooreenstem met die gemiddelde aantal gevalle wat direk deur 'n enkele besmette geval veroorsaak word. Boonop kan die voorgestelde metode gebruik word om die moontlike gevolge van alternatiewe politieke maatreëls te voorspel. Hierdie inligting kan as verwysing dien vir gedragsriglyne wat aangeneem moet word volgens die wisselende risiko van infeksie.


Die SIR-model vir verspreiding van siektes - die differensiaalvergelykingsmodel

As die eerste stap in die modelleringsproses, identifiseer ons die onafhanklike en afhanklike veranderlikes. Die onafhanklike veranderlike is tyd  t,  gemeet in dae. Ons beskou twee verwante stelle afhanklike veranderlikes.

Die eerste stel afhanklike veranderlikes tel mense in elk van die groepe, elk as 'n funksie van tyd:

S = S(t) is die getal van vatbaar individue,
Ek = Ek(t) is die getal van besmet individue, en
R = R(t) is die getal van herstel individue.

Die tweede stel afhanklike veranderlikes verteenwoordig die breuk van die totale bevolking in elk van die drie kategorieë. Dus, as  N  is die totale bevolking (7,900,000 in ons voorbeeld), wat ons het

s(t) = S(t)/N, die vatbare fraksie van die bevolking,
i(t) = I(t)/N, die besmette fraksie van die bevolking, en
r(t) = R(t)/N, die herwonne fraksie van die bevolking.

Dit lyk dalk meer natuurlik om met bevolkingstellings te werk, maar sommige van ons berekeninge sal eenvoudiger wees as ons eerder die breuke gebruik. Die twee stelle afhanklike veranderlikes is eweredig aan mekaar, so enige stel sal ons dieselfde inligting gee oor die vordering van die epidemie.

    Onder die aannames wat ons gemaak het, hoe dink jy  s(t)  moet wissel met tyd? Hoe moet  r(t)  wissel met tyd? Hoe moet  Dit)  wissel met tyd?

Vervolgens maak ons ​​'n paar aannames oor die tempo van verandering van ons afhanklike veranderlikes:

Niemand is nie bygevoeg aan die vatbare groep, aangesien ons geboortes en immigrasie ignoreer. Die enigste manier om 'n individu blare die vatbare groep is deur besmet te raak. Ons neem aan dat die tydtempo van verandering van  S(t),  die nommer van vatbares, 1 hang af van die aantal reeds vatbaar, die aantal individue wat reeds besmet is, en die hoeveelheid kontak tussen vatbares en geïnfekteerdes. Veronderstel veral dat elke besmette individu 'n vaste nommer het  b  kontakte per dag wat voldoende is om die siekte te versprei. Nie al hierdie kontakte is met vatbare individue nie. As ons 'n homogene vermenging van die bevolking aanneem, sal die breuk van hierdie kontakte wat met vatbares is, is  s(t).  Dus genereer elke besmette individu gemiddeld  b s(t)  nuwe besmette individue per dag. [Met 'n groot vatbare bevolking en 'n relatief klein besmette bevolking, kan ons moeilike telsituasies ignoreer soos 'n enkele vatbare wat meer as een besmette op 'n gegewe dag teëkom.]

Kom ons kyk wat hierdie aannames ons vertel oor afgeleides van ons afhanklike veranderlikes.

    Die vatbare vergelyking . Verduidelik noukeurig hoe elke komponent van die differensiaalvergelyking

(1)

volg uit die teks wat hierdie stap voorafgaan. In die besonder,

    Hoekom is die faktor van  Dit)  teenwoordig?

(3)

volg uit een van die aannames wat Stap 4 voorafgaan.

(4)

Watter aanname oor die model weerspieël dit? Verduidelik nou versigtig hoe elke komponent van die vergelyking

(5)

volg uit wat jy tot dusver gedoen het. In die besonder,

Ten slotte voltooi ons ons model deur aan elke differensiaalvergelyking 'n begintoestand te gee. Vir hierdie spesifieke virus - Hongkong griep in New York City in die laat 1960's - was byna niemand immuun aan die begin van die epidemie nie, so byna almal was vatbaar. Ons sal aanvaar dat daar 'n spoorvlak van infeksie in die bevolking was, sê, 10 mense. 2  Dus, ons beginwaardes vir die populasieveranderlikes is

S(0) =ه,900,000
I(0) =㺊
R(0) =ـ

In terme van die geskaalde veranderlikes is hierdie aanvanklike toestande

s(0) =ف
i(0) =ف.27 x㺊 - 6
r(0) =ـ

(Let wel: Die som van ons beginbevolkings is nie presies  N,  is ook nie die som van ons breuke presies   nie1.  Die spoorvlak van infeksie is so klein dat dit geen verskil sal maak nie.) Ons volledige model is

Ons ken nie waardes vir die parameters  b  en    nog, maar ons kan hulle skat, en dan aanpas soos nodig om by die oortollige sterftedata te pas. Ons het reeds die gemiddelde tydperk van aansteeklikheid op drie dae geskat, so dit dui op  k =ف/3.  As ons raai dat elke besmette elke twee dae 'n moontlik besmettende kontak sou maak, dan  b  sou wees  1/2.  Ons beklemtoon dat dit net 'n raaiskoot is. Die volgende plot toon die oplossingskrommes vir hierdie keuses van  b  en  k

    In stappe 1 en 2 het jy jou idees aangeteken oor hoe die oplossingsfunksies moet lyk. Hoe vergelyk hierdie idees met die figuur hierbo? In die besonder,

    Wat dink jy van die relatief lae vlak van infeksie op die hoogtepunt van die epidemie?

In Deel 3 sal ons sien hoe oplossingskrommes bereken kan word selfs sonder formules vir die oplossingsfunksies.

1  Let daarop dat ons die byvoeglike naamwoord "vatbaar" in 'n selfstandige naamwoord verander het. Dit is algemene gebruik in epidemiologie om te verwys na "vatbares", "besmettes" en "herwintes" eerder as om altyd langer frases soos "bevolking vatbare mense" of selfs "die vatbare groep" te gebruik.

2  Terwyl ek(0) is normaalweg klein relatief tot N, ons moet hê I(0) >ـ vir 'n epidemie om te ontwikkel. Vergelyking (5) sê, redelik redelik, dat as Ek =ـ op tyd 0 (of enige tyd), dan dI/dt =ـ sowel, en daar kan nooit enige toename van die 0 vlak van infeksie.

David Smith en Lang Moore, "Die SIR-model vir die verspreiding van siektes - die differensiaalvergelykingsmodel," Konvergensie (Desember 2004)


Die afleiding van die formules

Ons wil nou die aantal besmette, vatbare en herstelde vir alle dae kry, net vanaf β, γ en N. Nou is dit moeilik om 'n direkte formule vir S(t), I(t) en R(t) te kry. . Dit is egter redelik eenvoudig om die te beskryf verander per dag van S, I en R, dit wil sê hoe die aantal vatbare/besmette/herwinne verander na gelang van die huidige getalle. Weereens, ons sal die formules deur voorbeeld aflei:

Ons is nou op dag t na die uitbreek van siekte X. Tog is die verwagte hoeveelheid mense wat 'n besmette persoon per dag besmet 1 (dus β=1) en die aantal dae wat 'n besmette persoon het en die siekte kan versprei is 7 (dus γ=1/7 en D=7).

Kom ons sê op dag t is 60 mense besmet (dus I(t)=60), die totale bevolking is 100 (dus N=100), en 30 mense is steeds vatbaar (dus S(t)=30 en R( t)=100–60–30=10). Nou, hoe verander S(t) en I(t) en R(t) na die volgende dag?

Ons het 60 besmette mense. Elkeen van hulle besmet 1 persoon per dag (dit is β). Slegs 30/100 =30% van mense wat hulle ontmoet is egter steeds vatbaar en kan besmet word (dit is S(t) / N). So, hulle besmet 60 ⋅ 1 ⋅ 30/100 = 18 mense (weereens, dink daaroor totdat dit regtig sin maak: 60 besmet wat gemiddeld 1 persoon per dag besmet, maar net 30 van 100 mense kan steeds besmet word, so hulle moenie 60⋅1 mense besmet nie, maar slegs 60⋅1⋅30/100 = 18 mense). So, 18 mense van die vatbares word besmet, so S(t) verander met minus 18. As ons die veranderlikes inprop, het ons net die eerste formule afgelei:

Verandering van S(t) na die volgende dag = - β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N.

As jy vertroud is met calculus, weet jy dat ons 'n term het om die te beskryf verandering van 'n funksie: die afgeleide S'(t) of dS/dt. (Nadat ons al die afgeleides S'(t), I'(t) en R'(t) afgelei en verstaan ​​het, kan ons die waardes van S(t), I(t) en R(t) vir elke dag.)

Nou, hoe verander die hoeveelheid besmette? Dit is maklik: daar is 'n paar nuwe mense wat besmet is, ons het dit net gesien. Presies die hoeveelheid mense wat S(t) "verlaat" by I(t) "aankom". Dus, ons het 18 nuwe geïnfekteerdes en ons weet reeds dat die formule soortgelyk aan hierdie sal wees: I'(t) = + β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N (natuurlik kan ons die plus weglaat, dit is net om jou te wys dat ons die presiese bedrag kry wat S(t) verloor, so ons verander net die teken). Daar skort net een ding: sommige mense herstel. Onthou, ons het γ daarvoor, dit is die verhouding van die besmette wat per dag herstel, dit is net wat ons nodig het!

Ons het 60 besmet en γ=1/3, so een derde van die 60 herstel. Dit is 1/3 ⋅ 60 = 20. Laastens kry ons die formule:

Weereens, dink vir 'n minuut hieroor. Die eerste deel is die nuut besmette van die vatbares. Die tweede deel is die herstel.

Ten slotte kom ons by die laaste formule, die verandering in verhalings. Dit is maklik: die nuutgevorderdes is presies die 20 wat ons sopas bereken het, daar is geen mense wat die "herstelde"-kompartement verlaat nie. Sodra hulle herstel het, bly hulle immuun:

Groot, ons het nou al die formules wat ons nodig het afgelei (en verstaan)! Hier is hulle weer met 'n meer algemene notasie vir die afgeleide en die "(t)" weggelaat soos dikwels gedoen word:

Sulke vergelykings word genoem gewone differensiaalvergelykings (ODE's) (jy sal geen kennis oor hulle nodig hê om hierdie reeks te volg nie).

Ons kan nou die beskryf verander in die aantal mense wat vatbaar is, besmet is en herstel. Uit hierdie formules kan ons gelukkig die getalle bereken waarin ons werklik belangstel: S(t), I(t) en R(t), die aantal mense wat vatbaar, besmet en herstel is vir elke dag t. Selfs meer gelukkig hoef ons nie een bietjie self te doen nie, python bied baie gereedskap om ODE's op te los!


Reproduksienommer van 'n SIR-model met mortaliteit - Biologie

Die inter-epidemie tydperk word bereken uit die grootste denkbeeldige deel van eiewaardes van die Jakobiaanse matriks geëvalueer by die endemiese ewewig.

Infeksietrajekte toon 'n numeriese oplossing vir die SEIRS-vergelykings met 1 000 tydstappe en aanvanklike parameters

$S(0) = 0,999 - p$ $E(0) = 0,001$ $I(0) = 0$ $R(0) = p$ $S + E + I + R = N = 1$

waar bl is die inentingsfraksie.

Punte van betekenis: Die SEIRS-model vir aansteeklike siektedinamika

Ottar Bjørnstad 1,2, Katriona Shea 1, Martin Krzywinski 3, Naomi Altman 4

1. Departement Biologie, Die Pennsylvania State University, State College, PA, VSA.

2. Departement Entomologie, Die Pennsylvania State University, State College, PA, VSA.

3. Kanada se Michael Smith Genome Sciences Centre, Vancouver, British Columbia, Kanada.

4. Departement Statistiek, Die Pennsylvania State University, State College, PA, VSA.

Laai kode af

Aanhaling

Weergawe geskiedenis

23 Mei 2020 v1.0.0 &mdash aanvanklike publieke vrystelling

22 Junie 2020 v1.0.1 &mdash het skakels by eerste kolom gevoeg

17 Augustus 2020 v1.0.2 &mdash het skakels by alle kolomme kolom gevoeg

Verwante kolomme

Shea, K., Bjørnstad, O., Krzywinski, M. & Altman, N. Punte van betekenis: Onsekerheid en die bestuur van epidemies. (2020) Natuur Metodes 17 (in druk). (interaktiewe figure, aflaai kode)


Afleiding van die Dooie Kompartement

Vir baie dodelike siektes is hierdie kompartement baie belangrik. Vir sommige ander situasies wil jy dalk heeltemal ander kompartemente en dinamika byvoeg (soos geboortes en nie-siekteverwante sterftes wanneer jy 'n siekte oor 'n lang tyd bestudeer) hierdie modelle kan so kompleks word as wat jy wil!

Kom ons dink oor hoe ons ons huidige oorgange kan neem en 'n byvoeg Dead staat. Wanneer kan mense aan die siekte sterf? Slegs terwyl hulle besmet is! Dit beteken dat ons 'n oorgang I → D sal moet byvoeg. Natuurlik sterf mense nie dadelik nie Ons definieer 'n nuwe veranderlike ρ (rho) vir die tempo waarteen mense sterf (bv. wanneer dit 6 dae neem om te sterf, sal ρ 1/6 wees). Daar is geen rede vir die hersteltempo, γ, om te verander nie. Ons nuwe model sal dus op een of ander manier soos volg lyk:

Die enigste ding wat ontbreek, is die waarskynlikhede om van besmet na herstel en van besmet na dood te gaan. Dit sal nog een veranderlike wees (die laaste een vir nou!), die sterftesyfer α. Byvoorbeeld, as α=5%, ρ = 1 en γ = 1 (sodat mense sterf of herstel binne 1 dag, dit maak 'n makliker voorbeeld) en 100 mense is besmet, dan sal 5% ⋅ 100 = 5 mense sterf. Dit laat 95% ⋅ 100 = 95 mense herstel. Dus is die waarskynlikheid vir I → D α en dus is die waarskynlikheid vir I → R 1-α. Ons kom uiteindelik by hierdie model uit:

Wat natuurlik vertaal na hierdie vergelykings:


Hoe epidemiologiese modelle van COVID-19 ons help om die ware aantal infeksies te skat

Our World in Data bied die data en navorsing aan om vordering te maak teen die wêreld se grootste probleme.
Ons hoofpublikasie oor die pandemie is hier: Coronavirus-pandemie (COVID-19).

Ons is dankbaar vir die navorsers wie se werk ons ​​in hierdie pos dek vir die gee van nuttige terugvoer en voorstelle. Dankie.

Ons werk die modelskattings elke week op met die jongste beskikbare data, gewoonlik op Maandag. Laaste bladsyopdatering: 22 Junie 2021. 1

'n Sleutelbeperking in ons begrip van die COVID-19-pandemie is dat ons nie die waar aantal infeksies. In plaas daarvan weet ons net van infeksies wat deur 'n toets bevestig is – die bevestigde gevalle. Maar omdat baie besmette mense nooit getoets word nie, 2 weet ons dat bevestigde gevalle slegs 'n fraksie van ware infeksies is. Hoe klein breuk egter?

Om hierdie vraag te beantwoord, het verskeie navorsingsgroepe epidemiologiese modelle van COVID-19 ontwikkel. Hierdie modelle gebruik die data wat ons het – bevestigde gevalle en sterftes, toetskoerse, en meer – plus 'n reeks aannames en epidemiologiese kennis om ware infeksies en ander belangrike maatstawwe te skat.

Die grafiek hier toon die gemiddelde skattings van die werklike aantal daaglikse nuwe infeksies in die Verenigde State van vier van die mees prominente modelle. 3 Ter vergelyking word die aantal bevestigde gevalle ook getoon.

Twee dinge is duidelik uit hierdie grafiek: Al vier modelle stem saam dat ware infeksies ver oortref bevestigde gevalle.Maar die modelle stem nie saam met hoeveel en hoe infeksies oor tyd verander het nie.

Toe die aantal bevestigde gevalle in die VSA aan die einde van Julie 2020 'n hoogtepunt bereik het, het die IHME- en LSHTM-modelle beraam dat die werklike aantal infeksies ongeveer twee keer so hoog was as bevestigde gevalle, die ICL-model het geskat dat dit byna drie keer so hoog was, en Youyang Gu’ se model het geskat dit was meer as ses keer so hoog. In Maart was die geskatte verskil tussen bevestigde gevalle en ware infeksies selfs baie keer groter.

In hierdie pos ondersoek ons ​​hierdie vier modelle en hoe hulle verskil deur hul noodsaaklike elemente uit te pak: waarvoor hulle gebruik word, hoe hulle werk, die data waarop hulle gebaseer is en die aannames wat hulle maak.

Ons poog ook om die modelskattings maklik toeganklik te maak in ons interaktiewe kaarte, sodat jy vinnig verskillende modelle van die pandemie vir die meeste lande in die wêreld kan verken. Om dit te doen, klik eenvoudig “Verander land” op elke grafiek.

Drie van die vier modelle waarna ons kyk, is “SEIR” 4 modelle, 5 wat simuleer hoe individue in 'n bevolking deur vier toestande van 'n COVID-19-infeksie beweeg: Svatbaar, Exposed, ekaansteeklik, en Rteruggevind (of oorlede). Hoe individue deur hierdie state beweeg, word bepaal deur verskillende model “parameters,” waarvan daar baie is. Twee sleutels is die effektiewe voortplantingsgetal (Rt) 6 –  hoeveel ander mense 'n persoon met COVID-19 op 'n gegewe tydstip besmet – en die infeksie sterftesyfer (IFR) – die persentasie mense wat besmet is met 'n siekte wat daaraan sterf.

Jy kan meer leer oor hoe SEIR-modelle werk deur hierdie hulpbronne te verken:

Klik om interaktiewe weergawe oop te maak

Imperial College London (ICL)

Ouderdomsgestruktureerde SEIR-model gefokus op lae- en middelinkomstelande (besonderhede vanaf 23 Augustus 2020)

Hierdie grafiek toon die ICL-model se ramings van die ware aantal daaglikse nuwe infeksies in die Verenigde State. Om die skattings vir ander lande te sien, klik “Verander land.” Die lyne gemerk “upper” en “lower” toon die grense van 'n 95% onsekerheidsinterval. Ter vergelyking word die aantal bevestigde gevalle ook getoon.

Webwerf
Streke gedek

164 lande en gebiede regoor die wêreld

Tyd gedek

Die eerste datum wat gedek word, is die beraamde begin van die pandemie vir elke land. Die model maak projeksies wat 90 dae na die jongste opdateringsdatum strek. 7

Opdateer frekwensie
Wat is die model?

Die model is 'n stogastiese SEIR-variant met veelvuldige aansteeklike toestande om verskillende erns van COVID-19 te weerspieël, soos lig of asimptomaties teenoor ernstig.

Waarvoor word die model gebruik?

ICL beskryf sy model as 'n instrument om lande te help verstaan ​​in watter stadium die land in sy epidemie is (bv. voor of na 'n piek) en hoe die vraag na gesondheidsorg in die toekoms kan verander onder drie beleidscenario's. Hierdie scenario's is ontwerp om 'n kontrafeite te verskaf van wat kan gebeur as huidige intervensies gehandhaaf, verhoog of verslap word en is dus nie bedoel om toekomstige sterftes te voorspel nie.

ICL gebruik die modelskattings om verslae te skryf vir individuele lae- en middelinkomstelande (LMIC's) wat relatief vroeg in hul epidemies is, hierdie verslae is gefokus op die volgende 28 dae. Die aflaaibare modelskattings sluit ook data in vir sommige hoë-inkomstelande later in hul epidemies (bv. die VSA en EU-lande) en projeksies 90 dae in die toekoms.

Op grond van die model publiseer ICL ramings van die volgende maatstawwe:

  • Ware infeksies (tot op datum en geprojekteer)
  • Bevestigde sterftes (geprojekteerde)
  • Hospitaal en ICU aanvraag (tot op datum en geprojekteer)
  • Effektiewe reproduksienommer, Rt (tot op datum en geprojekteer)
Op watter data is die model gebaseer?

Die model is 𠇏it” aan data oor bevestigde sterftes 8 deur gebruik te maak van 'n geskatte IFR om terug te bereken hoeveel infeksies oor die vorige weke waarskynlik sou gewees het om daardie aantal sterftes te produseer. Dit gebruik mobiliteitsdata – van Google of, indien nie beskikbaar nie, afgelei van ACAPS-regeringsmaatreëlsdata – om die Rt te moduleer, die sleutelparameter oor hoe transmissie verander.

Daarbenewens gebruik die model ouderdom- en landspesifieke data oor demografie, patrone van sosiale kontak, hospitaalbeskikbaarheid en die risiko van hospitalisasie en dood, alhoewel die beskikbaarheid van hierdie data per land verskil.

Wat is sleutelaannames en potensiële beperkings?

Die model gebruik 'n beraamde IFR vir elke land wat bereken word deur ouderdomspesifieke IFR's wat in China en Europa waargeneem is (van ongeveer 0,6𠄱%) op daardie land se ouderdomsverspreiding toe te pas. In lande soos baie LMIC's met jonger bevolkings as in China en Europa, lei dit tot IFR-skattings van tipies 0.2𠄰.3% omdat jonger bevolkings laer gepaardgaande sterftesyfers het. Hierdie laer sterftesyfers veronderstel egter toegang tot voldoende gesondheidsorg, wat dalk nie altyd die geval is in LMIC's nie. Verskille tussen die beraamde en ware IFRS kan die akkuraatheid van modelskattings beïnvloed.

Die model neem aan dat die aantal bevestigde sterftes gelyk is aan die ware aantal sterftes. Maar navorsing oor oortollige sterftes en bekende beperkings op toets- en rapporteervermoë dui daarop dat bevestigde sterftes dikwels minder as ware sterftes is. Waar dit die geval is, onderskat die model waarskynlik die ware gesondheidslas.

Die model neem aan dat die verandering in transmissie oor tyd 'n funksie is van gemiddelde mobiliteitstendense vir plekke soos winkels en werkplekke, maar nie parke en woongebiede nie. 9 As hierdie aannames oor mobiliteit en oordrag nie hou nie, sal die model moontlik nie die pandemie akkuraat volg nie.

Soos alle modelle, maak hierdie een baie aannames, en ons dek slegs 'n paar sleutels hier. Sien die modelmetodebeskrywing vir 'n volledige lys.

Klik om interaktiewe weergawe oop te maak

Instituut vir Gesondheidsmetrieke en -evaluering (IHME)

Hibriede statistiese/SEIR-model (besonderhede vanaf 23 Augustus 2020)

Hierdie grafiek toon die IHME-model se ramings van die ware aantal daaglikse nuwe infeksies in die Verenigde State. Om die skattings vir ander lande te sien, klik “Verander land.” Die lyne gemerk “upper” en “lower” toon die grense van 'n 95% onsekerheidsinterval. Ter vergelyking word die aantal bevestigde gevalle ook getoon.

Webwerf
Streke gedek

159 lande en gebiede regoor die wêreld, insluitend subnasionale data vir die VSA en verskeie ander lande

Tyd gedek

Die eerste datum wat gedek word, verskil volgens land. Die model maak projeksies wat ongeveer 90� dae na die jongste datum van opdatering strek.

Opdateer frekwensie

Ongeveer een keer per week (alhoewel nie alle lande elke keer opgedateer word nie)

Wat is die model?

Die model is 'n baster met twee hoofkomponente: 'n statistiese 𠇍oodmodel”-komponent produseer sterfteskattings wat gebruik word om by 'n SEIR-modelkomponent te pas.

Let daarop dat die model twee belangrike opdaterings gehad het sedert sy aanvanklike publikasie:

Waarvoor word die model gebruik?

IHME beskryf sy model as 'n instrument om regeringsamptenare te help verstaan ​​hoe verskillende beleidsbesluite die verloop van die pandemie kan beïnvloed en om te beplan vir die veranderende vraag na gesondheidsorg.

Die model maak sterftesprojeksies wat hoogs gepubliseer is en soms gekritiseer is. 10 Alhoewel baie van die kritiek gelewer is op 'n vorige weergawe van die model, bekend as 𠇌urveFit,” wat gebruik is voordat die SEIR-komponent op 4 Mei bygevoeg is. Die projeksies word onder tans drie scenario's gemaak. 11

Op grond van die model publiseer IHME ramings van die volgende maatstawwe:

  • Ware infeksies (tot op datum en geprojekteer)
  • Bevestigde sterftes (geprojekteerde)
  • Hospitaal-, ICU- en ventilatorvraag (tot op datum en geprojekteer)
  • Effektiewe reproduksienommer, Rt (tot op datum en geprojekteer)
  • Toetsvlakke (geprojekteer)
  • Mobiliteit, as 'n volmag vir sosiale distansiëring (geprojekteer)
Op watter data is die model gebaseer?

Die sterftemodel gebruik data oor bevestigde gevalle, bevestigde sterftes, 12 en toetsing. 13

Die SEIR-model pas by die uitset van die sterftemodel deur 'n geskatte IFR te gebruik om die ware aantal infeksies terug te bereken.

Die model gebruik verskeie ander tipes data om oordrag en siektevordering te simuleer: mobiliteit, sosiale distansiëringsbeleide, bevolkingsdigtheid, longontsteking seisoenaliteit en sterftesyfer, lugbesoedeling, hoogte bo seespieël, rooksyfers en selfgerapporteerde kontakte en maskergebruik. Besonderhede oor die bronne van hierdie data kan gevind word op die model Gereelde Vrae en skatting opdaterings bladsye.

Wat is sleutelaannames en potensiële beperkings?

Die model gebruik 'n beraamde IFR gebaseer op data van die Diamond Princess-vaartuig en Nieu-Seeland. Alhoewel IHME nie syfers hiervoor gee nie, is die Diamond Princess IFR geskat op 0.6% (95% onsekerheidsinterval van 0.2𠄱.3%). 14 Verskille tussen die beraamde en ware IFRS kan die akkuraatheid van modelskattings beïnvloed.

Die sterftemodel maak verskeie aannames oor die verband tussen bevestigde sterftes, bevestigde gevalle en toetsvlakke. Byvoorbeeld, dat 'n dalende saak sterftesyfer (CFR) & # x2013 die verhouding van bevestig sterftes aan bevestig gevalle 15 – weerspieël van toenemende toetsing en 'n verskuiwing na die toets van ligte of asimptomatiese gevalle. Maar die CFR kan ook afneem om ander redes, soos verbeterde behandeling of 'n afname in die gemiddelde ouderdom van besmette mense.

Die model neem aan dat die verandering in transmissie oor tyd 'n funksie is van verskeie data-insette (hierbo gelys), soos mobiliteit en bevolkingsdigtheid. As hierdie aannames nie geld nie, byvoorbeeld, omdat die data minder relevant is of die verband daarvan met oordrag verkeerd gespesifiseer is, sal die model dalk nie die pandemie akkuraat naspoor nie.

Meer besonderhede word bespreek in die model Gereelde Vrae en in verskillende skattingsopdateringsverslae.

Klik om interaktiewe weergawe oop te maak

Youyang Gu (YYG)

SEIR-model met masjienleerlaag (besonderhede vanaf 23 Augustus 2020)
Opdatering: Youyang Gu het aangekondig dat 5 Oktober 2020 die finale modelopdatering is

Hierdie grafiek toon die YYG-model se ramings van die ware aantal daaglikse nuwe infeksies in die Verenigde State. Om die skattings vir ander lande te sien, klik “Verander land.” Die lyne gemerk “upper” en “lower” toon die grense van 'n 95% onsekerheidsinterval. Ter vergelyking word die aantal bevestigde gevalle ook getoon.

Webwerf
Streke gedek

71 lande regoor die wêreld, insluitend subnasionale data vir die VSA en Kanada

Tyd gedek

Die eerste datum wat gedek word, verskil volgens land. Die model maak projeksies wat ongeveer 90 dae na die jongste opdateringsdatum strek.

Opdateer frekwensie
Wat is die model?

Die model bestaan ​​uit 'n SEIR-basis met 'n masjienleerlaag bo-op om te soek na die parameters wat die fout tussen die modelskattings en die waargenome data minimaliseer.

Waarvoor word die model gebruik?

Youyang beskryf sy model as die maak van projeksies van ware infeksies en sterftes wat optimaliseer vir voorspelling akkuraatheid. Alhoewel hy ook beklemtoon dat sy projeksies 'n reeks moontlike uitkomste dek, en dat projeksies nie “wrong” is as dit help om ʼn ander uitkoms in die toekoms te vorm nie.

Gebaseer op die model publiseer Youyang skattings van die volgende maatstawwe:

  • Ware infeksies (tot op datum en geprojekteer)
  • Bevestigde sterftes (geprojekteerde)
  • Effektiewe reproduksienommer, Rt (tot op datum en geprojekteer)
  • Toetse per dag teikens (geprojekteer)

Die model fokus nie op projeksies onder verskillende scenario's nie, maar het ondersoek wat sou gebeur het as die VSA 'n week vroeër of 'n week later sosiale distansiëring opdrag gegee het, of as 20% van die besmette mense onmiddellik self-kwarantyn geplaas het.

Op watter data is die model gebaseer?

Die model pas by data oor bevestigde sterftes 16 deur 'n geskatte IFR te gebruik om die ware aantal infeksies terug te bereken. Bevestigde gevalle en hospitalisasiedata word soms gebruik om grense te stel vir die masjienleerparametersoektog.

Wat is sleutelaannames en potensiële beperkings?

Die model gebruik 'n beraamde IFR vir elke streek wat aanvanklik gebaseer is op daardie streek se waargenome CFR. Die IFR word dan lineêr 17 verlaag oor die bestek van drie maande totdat dit 30% van sy aanvanklike waarde is om die laer gemiddelde ouderdom van infeksies en verbeterde behandelings te weerspieël. Tans word die IFR geraam op 0,2𠄰,4% in die meeste van die VSA en Europa. Verskille tussen die beraamde en ware IFRS kan die akkuraatheid van modelskattings beïnvloed.

Die model neem aan dat daar ongerapporteerde sterftes sal wees vir die �rste paar weke” van 'n streek se pandemie, en dat hierdie onderrapportering sal afneem totdat die aantal bevestigde sterftes gelyk is aan ware sterftes. Soos voorheen genoem, is dit dikwels nie die geval nie, en dus kan die model die ware gesondheidslas onderskat.

Die model maak aannames oor hoe heropening sosiale distansiëring en uiteindelik oordrag sal beïnvloed. Byvoorbeeld, as heropening 'n herlewing van infeksies veroorsaak, neem die model aan dat streke stappe sal neem om oordrag te verminder, wat gemodelleer word deur die beperking van die Rt. Dit veronderstel ook 'n heropeningsdatum vir streke (veral buite die VSA en Europa) waar die ware datum onbekend is.

Die model is geskep en geoptimaliseer vir die VSA. Vir ander lande kan die modelskattings dus minder akkuraat wees.

Vir 'n volledige lys van aannames en beperkings, sien die model �out” bladsy.

Klik om interaktiewe weergawe oop te maak

London School of Hygiene & Tropical Medicine (LSHTM)

Statistiese model wat onderrapportering van infeksies skat (besonderhede vanaf 23 Augustus 2020)

Hierdie grafiek toon die LSHTM-model se ramings van die ware aantal daaglikse nuwe infeksies in die Verenigde State. Om die skattings vir ander lande te sien, klik “Verander land.” Die lyne gemerk “upper” en “lower” toon die grense van 'n 95% onsekerheidsinterval. Ter vergelyking word die aantal bevestigde gevalle ook getoon.

Webwerf
Streke gedek

159 lande en gebiede regoor die wêreld (diegene met ten minste 10 bevestigde sterftes uit 'n totaal van 210)

Tyd gedek

Die eerste datum wat gedek word, verskil volgens land. Die model maak nie projeksies nie.

Opdateer frekwensie
Wat is die model?

Die model begin met 'n land se CFR en pas dit aan vir die feit dat daar 'n vertraging van ongeveer 2𠄳 weke tussen gevalbevestiging en dood (of herstel) is. 18 Hierdie vertraging-aangepaste CFR word dan vergelyk met 'n basislyn, vertraging-aangepaste CFR om die 𠇊scertainment rate” – die proporsie van alle te skat simptomaties infeksies wat werklik bevestig is. 19

Hierdie beraamde vasstellingskoers word dan gebruik om die aantal bevestigde gevalle 20 aan te pas om die ware aantal simptomatiese infeksies te skat. Om uiteindelik te skat totaal infeksies, word die skatting van simptomatiese infeksies aangepas om in te sluit asimptomaties infeksies, wat na raming tussen 10�% (mediaan 50%) van die totale infeksies uitmaak. 21

Waarvoor word die model gebruik?

LSHTM beskryf sy model as 'n hulpmiddel om die vlak van onopgemerkte epidemiese vordering te help verstaan ​​en om reaksiebeplanning te help, soos wanneer om beheermaatreëls in te stel en te verslap.

Op grond van die model publiseer LSHTM ramings van die vasstellingskoers.

Op watter data is die model gebaseer?

Die model is gebaseer op data oor bevestigde sterftes en bevestigde gevalle. 22

Wat is sleutelaannames en potensiële beperkings?

Die model veronderstel 'n basislyn, vertragingsaangepaste CFR van 1,4% en dat enige verskil tussen dit en 'n land se vertragingsaangepaste CFR geheel en al te wyte is aan ondervasstelling. Maar baie ander faktore speel waarskynlik 'n rol, soos die las op die gesondheidsorgstelsel, COVID-19-risikofaktore in die bevolking, die ouderdomme van diegene wat besmet is, en meer.

Die veronderstelde basislyn CFR is gebaseer op data van China en maak nie rekening met verskillende ouderdomsverspreidings buite China nie. Dit veroorsaak dat die vasstellingsyfer oorskat word in lande met jonger bevolkings en onderskat word in lande met ouer bevolkings. 23

Die model neem aan dat die aantal bevestigde sterftes gelyk is aan die ware aantal sterftes. Soos voorheen genoem, is dit dikwels nie die geval nie, en dus kan die model die ware gesondheidslas onderskat.

Gerapporteerde sterftesdata word soms terugwerkend verander, wat vir die model uitdagend kan wees en die ramings daarvan kan beïnvloed.

Meer aannames en beperkings word in die volledige verslag bespreek.

Klik om interaktiewe weergawe oop te maak

Hoe moet ons oor hierdie modelle en hul skattings dink?

Al vier die modelle waarna ons gekyk het, stem saam dat ware infeksies verreweg bevestigde gevalle oorskry, maar hulle stem nie saam met hoeveel nie. Ons het nou 'n bietjie insig in hierdie verskille: Die modelle verskil almal tot 'n mate in waarvoor hulle gebruik word, hoe hulle werk, die data waarop hulle gebaseer is en die aannames wat hulle maak.

Deur hierdie verskille deursigtig te maak, help ons om te verstaan ​​hoe ons oor hierdie modelle en hul skattings moet dink. Byvoorbeeld, om te verstaan ​​dat sommige modelle gebruik word vir scenariobeplanning en nie voorspelling nie (soos ICL’s) terwyl ander geoptimaliseer is vir voorspelling akkuraatheid (soos Youyang’s), plaas hul ramings in konteks. En die modelle maak almal verskillende aannames dat elkeen beperkings het, ons kan besluit of daardie beperkings relevant is vir 'n gegewe situasie.

Op die ou end wil ons egter steeds die vertroue hê dat modelle die pandemie akkuraat kan opspoor. Ons kan ons vertroue in verskillende modelle kalibreer deur hul skattings 'n werklikheidstoets te gee.

Een manier om dit te doen is om modelberamings te vergelyk met sommige waargenome “ground truth” data. Byvoorbeeld, as 'n model die aantal sterftes oor vier weke van nou af voorspel, kan ons vier weke wag en die voorspelling vergelyk met die sterftes wat werklik plaasvind. 24

Maar soms word die grondwaarheid nie maklik waargeneem nie, soos die geval is met die ware aantal infeksies. Hier moet ons soek konvergerende bewyse van ander navorsing, soos van seroprevalensiestudies wat toets vir COVID-19-teenliggaampies in die bloedserum om te skat hoeveel mense al ooit besmet is. 25

Deur 'n dieper, meer genuanseerde begrip van hierdie modelle en hul sterk- en swakpunte te verkry, kan ons dit as waardevolle hulpmiddels gebruik om te help om vordering teen die pandemie te maak.

Eindnotas

Die datum waarop hierdie bladsy opgedateer is, stem nie noodwendig ooreen met die datum waarop die modelskattings self opgedateer is nie. Vir modelskattingsopdateringsdatums, sien die individuele modelkaarte hieronder. Gaan die modelwebwerwe na vir die mees onlangse opdaterings.

Besmette mense word moontlik om verskeie redes nie getoets nie, soos om nie maklike toegang tot toetsing te hê nie of om nie eers te weet dat hulle besmet is nie omdat hulle geen simptome het nie (hoewel hulle steeds die virus kan oordra). Sulke asimptomatiese infeksies word geskat op 10-70% van die totale infeksies. Bron: CDC COVID-19 pandemiese beplanningscenario's.

Daar is baie modelle in gebruik buiten hierdie vier, insluitend ander deur die navorsingsgroepe wat ons hier dek. Ons het hierdie vier modelle gekies omdat hulle prominent is, deur beleidmakers gebruik is en gereeld bygewerk is. Ons gebruik hulle meer ter illustrasie as volledigheid.

Uitgespreek deur elke letter "S-E-I-R" te sê.

Die London School-model is nie 'n SEIR-model nie.

Ook genoem “tydsveranderende” reproduksienommer.

Alhoewel projeksies 'n belangrike aspek is van waarvoor hierdie en 'n paar ander modelle gebruik word, dek ons ​​dit nie in hierdie artikel nie.

Soos gerapporteer deur die Europese Sentrum vir Siektevoorkoming en -beheer (ECDC).

Die model aanvaar dat in parke "beduidende kontakgebeurtenisse weglaatbaar is" en dat 'n "toename in residensiële beweging nie huishoudelike kontakte sal verander nie."

Vir meer besonderhede oor die scenario's, sien die model se algemene vrae.

Bevestigde gevalle en sterftes data soos gerapporteer deur Johns Hopkins Universiteit en verskeie amptelike bronne.

Soos gerapporteer deur die COVID-opsporingsprojek (vir VSA), amptelike bronne (Brasilië en Dominikaanse Republiek), en Our World in Data (alle ander lande).

Russell et al (2020). Beraam die infeksie- en sterftesyfer vir koronavirussiekte (COVID-19) met behulp van ouderdomsaangepaste data van die uitbraak op die Diamond Princess-vaartuig. Eurosurveillance, 25(12). https://doi.org/10.2807/1560-7917.ES.2020.25.12.2000256

Die CFR is soortgelyk aan die IFR maar gebruik die bevestig sterftes en gevalle wat deur lande aangemeld is. Daarteenoor gebruik die IFR ware sterftes en infeksies, wat oor die algemeen nie bekend is nie en geskat moet word.

Soos gerapporteer deur Johns Hopkins Universiteit. Die data word glad gemaak voordat dit gepas word.

Behalwe in "streke wat later geraak word soos Latyns-Amerika, wag ons nog 3 maande voordat ons begin om die IFR te verlaag."

Die tipiese CFR-berekening verdeel bevestigde sterftes deur bevestigde gevalle op dieselfde dag gerapporteer, maar daardie sterftes is eintlik veroorsaak deur gevalle wat ongeveer 2-3 weke tevore bevestig is.

Daar word aanvaar dat almal behalwe 'n geringe aantal bevestigde gevalle simptomaties is.

Hierdie data word eers glad gemaak.

In ooreenstemming met hierdie metodologie en in oorleg met die LSHTM-navorsers, doen ons hierdie berekeninge om die skattings van totale infeksies wat hier aangebied word, te produseer.

Beide soos gerapporteer deur die ECDC.

In 'n sekondêre analise pas die LSHTM-navorsers wel die basislyn CFR aan vir verskillende ouderdomsverspreidings. Maar dit het sy eie aannames en beperkings en is dus nie duidelik 'n beter benadering nie. Meer besonderhede kan in die volledige verslag gevind word.

Alhoewel ons steeds moet in ag neem dat sulke voorspellings dalk nie kan naspoor wat werklik gebeur nie as dit help om 'n ander uitkoms in die toekoms te vorm.

Sommige huidige pogings om voorspellings vir akkuraatheid te behaal, is deur Youyang Gu, IHME, The Zoltar Project en Covid Compare.

Die LSHTM-navorsers het byvoorbeeld hul modelskattings met seroprevalensieskattings vergelyk en goeie ooreenstemming gevind. Jy kan meer hieroor lees in hul volledige verslag.

Hergebruik ons ​​werk vryelik

Alle visualiserings, data en kode wat deur Our World in Data vervaardig word, is heeltemal ooptoegang onder die Creative Commons BY-lisensie. Jy het die toestemming om dit in enige medium te gebruik, te versprei en te reproduseer, mits die bron en outeurs gekrediteer word.

Die data wat deur derde partye vervaardig word en deur Our World in Data beskikbaar gestel word, is onderhewig aan die lisensiebepalings van die oorspronklike derdeparty-outeurs. Ons sal altyd die oorspronklike bron van die data in ons dokumentasie aandui, so jy moet altyd die lisensie van enige sodanige derdeparty-data nagaan voor gebruik en herverspreiding.


Gebruik 'n ander parameterisering

Die optim-funksie laat jou toe om die goiing uit te lees

Die goiing kan verband hou met die variansie van die parameters (In R, gegewe 'n uitset vanaf optim met 'n goiing matriks, hoe om parameter vertrouensintervalle te bereken deur die goiing matriks te gebruik?). Maar let daarop dat jy vir hierdie doel die Hessian van die log-waarskynlikheid nodig het wat nie dieselfde is as die die RSS nie (dit verskil met 'n faktor, sien die kode hieronder).

Op grond hiervan kan jy sien dat die skatting van die steekproefafwyking van die parameters baie groot is (wat beteken dat jou resultate/skattings nie baie akkuraat is nie). Maar let ook daarop dat die fout baie gekorreleer is. Dit beteken dat jy die parameters so kan verander dat die uitkoms nie baie gekorreleer is nie. Enkele voorbeelde van parameterisering sou wees:

sodat die ou vergelykings (let op 'n skaal met 1/N gebruik word):

wat veral aantreklik is aangesien jy hierdie benaderde $I^prime = cI$ vir die begin kry. Dit sal jou laat sien dat jy basies die eerste deel skat wat ongeveer eksponensiële groei is. Jy sal die groeiparameter $c = eta - gamma$ baie akkuraat kan bepaal. $eta$ en $gamma$, of $R_0$, kan egter nie maklik bepaal kan word.

In die kode hieronder word 'n simulasie gemaak met dieselfde waarde $c=eta - gamma$ maar met verskillende waardes vir $R_0 = eta / gamma$. Jy kan sien dat die data nie in staat is om ons in staat te stel om te onderskei met watter verskillende scenario's (watter verskillende $R_0$) ons te doen het nie (en ons sal meer inligting nodig hê, bv. die liggings van elke besmette individu en probeer om te sien hoe die infeksie versprei uit).

Dit is interessant dat verskeie artikels reeds voorgee dat hulle redelike skattings van $R_0$ het. Byvoorbeeld hierdie voordruk Nuwe koronavirus 2019-nCoV: vroeë skatting van epidemiologiese parameters en epidemiese voorspellings (https://doi.org/10.1101/2020.01.23.20018549)


Die SEIR-model¶

In die weergawe van die SEIR-model word aanvaar dat alle individue in die bevolking in 'n eindige aantal state is.

Die toestande is: vatbaar (S), blootgestel (E), besmet (I) en verwyder (R).

Hierdie tipe kompartementaliseerde model het baie uitbreidings (bv. SEIRS ontspan lewenslange immuniteit en laat oorgange van $ R a S $ toe).

  • Diegene in staat R is besmet en het óf herstel óf gesterf. Let daarop dat R in sommige variasies slegs na herwonne middels kan verwys.
  • Diegene wat herstel het, en lewe, word aanvaar dat hulle immuniteit verkry het.
  • Diegene in die blootgestelde groep is nog nie aansteeklik nie.

Veranderinge in die besmette staat¶

Binne die SEIR-model volg die vloei oor state die pad $ S a E a I a R $.

Ons sal geboorte en nie-covid dood gedurende ons tydshorison ignoreer, en 'n groot, konstante aantal individue van grootte $ N $ deurgaans aanvaar.

Hiermee word die simbole $ S, E, I, R $ gebruik vir die totale aantal individue in elke staat op elke tydstip, en $ S(t) + E(t) + I(t) + R( t) = N $ vir alle $ t $.

Aangesien ons aangeneem het dat $ N $ groot is, kan ons 'n kontinuumbenadering gebruik vir die aantal individue in elke staat.

Die oorgange tussen daardie state word deur die volgende tariewe beheer

  • $ eta(t) $ word die genoem transmissietempo of effektiewe kontaktempo (die tempo waarteen individue ander raakloop en hulle aan die virus blootstel).
  • $ sigma $ word die genoem infeksie koers (die tempo waarteen diegene wat blootgestel word besmet raak)
  • $ gamma $ word die genoem herstel koers (die tempo waarteen besmette mense herstel of sterf)

Die koers $ eta(t) $ word beïnvloed deur beide die kenmerke van die siekte (bv. die tipe en lengte van langdurige kontak wat vir 'n oordrag vereis word) en gedrag van die individue (bv. sosiale distansiëring, higiëne).

Die SEIR-model kan dan geskryf word as

$ egin frac & = - eta , S , frac frac & = eta , S , frac - sigma E frac & = sigma E - gamma I frac & = gamma I end ag <1>$

Hier verteenwoordig $ dy/dt $ die tydafgeleide vir die bepaalde veranderlike.

Die eerste term van (1), $ -eta , S , frac $, is die vloei van individue wat van $ S a E $ beweeg, en beklemtoon die onderliggende dinamika van die epidemie

  • Individue in die vatbare toestand (S) het 'n koers $ eta(t) $ van langdurige kontak met ander individue waar oordrag sou plaasvind as een van hulle besmet was
  • Van hierdie kontakte, 'n fraksie $ frac$ sal met besmette agente wees (aangesien ons aangeneem het dat blootgestelde individue nog nie aansteeklik is nie)
  • Laastens is daar $ S(t) $ vatbare individue.
  • Die teken dui aan dat die produk van daardie terme die uitvloei van die $ S $ staat is, en 'n invloei na die $ E $ staat.

Basiese Reproduksienommer¶

As $ eta $ konstant was, dan kan ons $ R_0 := eta / gamma $ definieer. Dit is die bekende basiese reproduksienommer vir die SEIR-model. Sien [HSW05] vir meer besonderhede.

Wanneer die transmissietempo tyd-variërend is, sal ons notasie in [FVJ20] volg en na $ R_0(t) $ verwys as 'n tydveranderende weergawe van die basiese reproduksienommer.

Die ontleding van die stelsel in (1) verskaf 'n mate van intuïsie oor die $ R_0(t) := eta(t) / gamma $ uitdrukking:

  • Individuele oorgange van die besmette na verwyderde toestand vind plaas teen 'n Poisson-koers $ gamma $, die verwagte tyd in die besmette toestand is $ 1/gamma $
  • Langdurige interaksies vind plaas teen 'n koers $ eta $, so 'n nuwe individu wat die besmette toestand betree, sal moontlik die virus oordra na 'n gemiddeld van $ R_0 = eta imes 1 / gamma $ others
  • In meer ingewikkelde modelle, sien [HSW05] vir 'n formele definisie vir arbitrêre modelle, en 'n ontleding oor die rol van $ R_0 < 1 $.

Let daarop dat die notasie $ R_0 $ standaard is in die epidemiologie literatuur - hoewel verwarrend, aangesien $ R_0 $ nie verband hou met $ R $, die simbool wat die verwyderde toestand verteenwoordig nie. Vir die res van die lesing sal ons vermy om $ R $ vir verwyderde toestand te gebruik.

Voordat ons die model direk oplos, maak ons ​​'n paar veranderinge aan (1)

  • Herparameteriseer met $ eta(t) = gamma R_0(t) $
  • Definieer die verhouding van individue in elke staat as $ s := S/N $ ens.
  • Deel elke vergelyking in (1) deur $ N $, en skryf die stelsel van ODE's in terme van die proporsies

$ egin frac & = - gamma , R_0 , s , i frac & = gamma , R_0 , s , i - sigma e frac & = sigma e - gamma i frac & = gamma i end ag <2>$

Aangesien die state 'n partisie vorm, kan ons die "verwyderde" fraksie van die bevolking rekonstrueer as $ r = 1 - s - e - i $. Om dit egter in die stelsel te hou, sal die plot makliker maak.

Implementering¶

Ons begin deur 'n eenvoudige weergawe van hierdie model te implementeer met 'n konstante $ R_0 $ en 'n paar basislynparameterwaardes (wat ons later bespreek).

Definieer eers die stelsel van vergelykings

Gegewe hierdie stelsel, kies ons 'n aanvanklike toestand en 'n tydsduur, en skep 'n ODE-probleem wat die stelsel insluit.

Kies hiermee 'n ODE-algoritme en los die aanvanklike waardeprobleem op. 'n Goeie verstekalgoritme vir nie-stywe ODE's van hierdie soort kan Tsit5() wees, wat die Tsitouras 5/4 Runge-Kutta-metode is).

Ons het nie 'n stel tydstappe of 'n dt tydstapgrootte verskaf om die oplossing op te los nie. Mees akkurate en hoëprestasie ODE-oplossers wat geskik is vir hierdie probleem, gebruik adaptiewe tydstap, wat die stapgrootte verander op grond van die graad van kromming in die afgeleides.

Of, as 'n alternatiewe visualisering, die proporsies in elke toestand oor tyd

Terwyl ons die kernstelsel van ODE's in $ (s, e, i, r) $ handhaaf, sal ons die basiese model uitbrei om sommige beleidseksperimente en berekeninge van totale waardes moontlik te maak.

Die uitbreiding van die model¶

Eerstens kan ons 'n paar bykomende berekeninge oorweeg, soos die kumulatiewe gevallelading (d.w.s. almal wat die infeksie het of gehad het) as $ c = i + r $. Deur daardie uitdrukking te onderskei en te vervang van die tydafgeleides van $ i(t) $ en $ r(t) $ lewer $ frac = sigma e $.

Ons sal aanvaar dat die transmissietempo 'n proses volg met 'n terugkeer na 'n waarde $ ar_0(t) $ wat moontlik deur beleid beïnvloed kan word. Die intuïsie is dat selfs al is die geteikende $ ar_0(t) $ is verander deur sosiale distansiëring/ens., vertragings in gedrag en implementering sal die oorgang glad maak, waar $ eta $ die spoed beheer van $ R_0(t) $ beweeg na $ ar_0(t) $.

Laastens, laat $ delta $ die sterftesyfer wees, wat ons konstant sal laat. Die kumulatiewe sterftes kan geïntegreer word deur die vloei $ gamma i $ wat die "Verwyder" toestand betree.

Definieer die kumulatiewe aantal sterftes as $ D(t) $ met die proporsie $ d(t) := D(t)/N $.

Alhoewel ons die sterftes kon integreer met die oplossing van die model ex-post, is dit geriefliker om die integrator wat in die ODE-oplosser ingebou is, te gebruik. Dit wil sê, ons voeg $ frac by

d(t) $ eerder as om $ d(t) = int_0^t delta gamma, i( au) d au $ ex-post te bereken.

Dit is 'n algemene truuk wanneer stelsels van ODE's opgelos word. Alhoewel dit in beginsel gelykstaande is aan die gebruik van die toepaslike kwadratuurskema, word dit veral gerieflik wanneer aanpasbare tydstapalgoritmes gebruik word om die ODE's op te los (m.a.w. daar is nie 'n gereelde tydrooster nie). Let daarop dat wanneer dit gedoen word, $ d(0) = int_0^0 delta gamma i( au) d au = 0 $ die aanvanklike voorwaarde is.

Die stelsel (2) en die aanvullende vergelykings kan in vektorvorm $ x := [s, e, i, r, R₀, c, d] $ geskryf word met parameter tuple $ p := (sigma, gamma, eta, delta, ar_0(cdot)) $

Let daarop dat in daardie parameters, die geteikende reproduksienommer, $ ar_0(t) $, is 'n eksogene funksie.

Die model is dan $ frac = F(x,t) $ waar,

$ F(x,t) := egin -gamma , R_0 , s , i gamma , R_0 , s , i - sigma e sigma , e - gamma i gamma i eta ( alk_0(t) - R_0) sigma e delta , gamma , i end ag <5>$

Let daarop dat as $ ar_0(t) $ is tyd-invariant, dan is $ F(x, t) $ ook tyd-invariant.

Parameters¶

Die parameters, $ sigma, delta, $ en $ gamma $ moet beskou word as parameters wat uit biologie en mediese tegnologie bepaal word, en onafhanklik van sosiale interaksies.

Soos in Atkeson se nota, stel ons

  • $ sigma = 1/5.2 $ om 'n gemiddelde inkubasietydperk van 5.2 dae te weerspieël.
  • $ gamma = 1/18 $ om by 'n gemiddelde siekteduur van 18 dae te pas.
  • $ ar_0(t) = R_0(0) = 1.6 $ om by a basiese reproduksienommer van 1.6, en aanvanklik tyd-onveranderlik
  • $ delta = 0.01 $ vir 'n een-persent sterftesyfer

Soos ons aanvanklik die geval sal oorweeg waar $ R_0(0) = ar_0(0) $, sal die parameter $ eta $ nie die eerste eksperiment beïnvloed nie.


SIR-epidemiemodel vir griep A (H1N1): Modellering van die uitbreek van die pandemie in Kolkata, Wes-Bengale, Indië, 2010

Hierdie werk is gelisensieer onder 'n Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Internasionale Lisensie.

In hierdie verslag word die verspreiding van die pandemiese griep A (H1N1) wat 'n uitbreking in Kolkata, Wes-Bengale, Indië, 2010 gehad het, gaan nageboots word. Die basiese epidemiese SIR-model gebruik sal word, beskryf dit drie populasies: a vatbaar bevolking, an besmet bevolking, en a herstel populasie en aanvaar die totale populasie (som van hierdie 3 populasies) soos vasgestel oor die tydperk van studie.

Daar is twee parameters vir hierdie model: naamlik die aanvaltempo (β) per besmette persoon per dag deur kontakte en die herstelkoers (α). Aanvanklik sal daar 'n klein aantal besmette persone in die bevolking wees. Nou moet die volgende vrae met die simulasie/analise beantwoord word:

1. Of die aantal besmette persone aansienlik toeneem, wat 'n epidemie veroorsaak, of die koors sal uitbrand.
2. Gestel daar is 'n epidemie, hoe sal dit eindig? Sal daar nog enige vatbare stowwe oor wees wanneer dit verby is?
3. Hoe lank sal die epidemie duur?

Die Euler se metode sal hoofsaaklik gebruik word om die op te los stelsel van differensiaalvergelykings vir die SIR model en bereken die ewewigspunte (saam met sommige
analitiese oplossingspogings vir 'n paar vereenvoudigde spesiale gevalle). Hier is die
gevolgtrekkings verkry uit die simulasies:

1. Wanneer die herstel koers α is ≈ 0 of baie baie laag in vergelyking met die aanvalsyfer β, sal die griep 'n epidemie wees en die hele bevolking sal eerste besmet word (hoe hoër β is hoe vinniger die epidemie uitbreek).

2. Om meer presies te wees, wanneer die aanvanklike vatbare populasie S(0) is groter as die inverse van die basiese reproduksiegetal 1/ R0 = α / β, a behoorlike epidemie sal uitbreek.

3. Wanneer die aanvanklike vatbare populasie S(0) is minder as die omgekeerde van die basiese reproduksiegetal 1/R0=α/β, dan a behoorlike epidemie sal nooit breek uit.

4. As die aanvanklike vatbare populasie nie-nul is, sal daar op die ou end (by ewewig) altyd een of ander vatbare populasie wees.

5. Wanneer daar 'n epidemie is, sal dit uiteindelik eindig in die ewewigspunt met 0 besmette populasie, hoe vinnig dit die ewewig bereik hang af van die hersteltempo (hoe hoër α is hoe vinniger die infeksie verwydering).

6. Die tyd om die ewewig te bereik kan met Euler se metode bereken word, dit hang af van die parameters α (hoe hoër hoe vinniger) en β (hoe hoër hoe vinniger) en die aanvanklike besmette bevolkte grootte I(0) (hoe hoër hoe vinniger) ).

In 2010 het die pandemiese griep A (H1N1) 'n uitbreking in Kolkata, Wes-Bengale, Indië gehad. 'n Verhoogde aantal gevalle met griepagtige siektes (ILI) is gedurende Julie en Augustus 2010 in die Groter Kolkata Metropolitaanse Gebied (GKMA) aangemeld, soos in [3] vermeld. Die hoofmotivering vir hierdie navorsingsprojek sal wees om die verspreiding van die pandemie te verstaan, die ewewigspunte te bereken en die impak van die aanvanklike waardes van die besmette tempo en die aanval-/hersteltempo parameters op die verspreiding van die epidemie te vind, deur gebruik te maak van simulasies deur gebruik te maak van die basiese epidemiese SIR-model.

Die Euler se metode sal hoofsaaklik gebruik word om die stelsel van differensiaalvergelykings op te los
vir SIR-model en bereken die ewewigspunte. Eers sal 'n paar vereenvoudigde spesiale gevalle oorweeg word en beide analitiese en numeriese metodes (met Euler-metode) sal gebruik word om die ewewigspunte te bereken. Dan sal die oplossing vir die generiese model gevind word. Soos beskryf in [6], kan die SIR-model ook effektief gebruik word (in 'n breër
konteks) om die verspreiding van rekenaarvirus in rekenaarnetwerke te modelleer, veral vir die netwerke met Erdos-Renyi-tipe ewekansige grafiektopologie.

SIR Epidemie Model

Die SIR-model is 'n epidemiologiese model wat die teoretiese aantal mense wat met 'n aansteeklike siekte in 'n geslote populasie oor tyd besmet is, bereken. Een van die basiese een-stam SIR-modelle is Kermack-McKendrick-model. Die Kermack-McKendrick-model word gebruik om die vinnige styging en daling in die aantal aansteeklike pasiënte wat in epidemies waargeneem word, te verduidelik. Dit neem aan dat die bevolkingsgrootte vas is (d.w.s. geen geboortes, geen sterftes as gevolg van siekte of deur natuurlike oorsake nie), inkubasietydperk van die aansteeklike middel
is oombliklik, en die duur van aansteeklikheid is dieselfde as die lengte van die siekte. Dit veronderstel ook 'n heeltemal homogene bevolking met geen ouderdom, ruimtelike of sosiale struktuur nie.

Die volgende figuur 2.1 toon 'n elektronmikroskoopbeeld van die her-gesorteerde H1N1griepvirus gefotografeer by die CDC-grieplaboratorium. Die virusse is 80 - 120 nm in deursnee [1].

2.1 Basiese Wiskundige Model

Die beginmodel vir 'n epidemie is die sogenaamde SIR-model, waar S staan ​​vir vatbare bevolking, die mense wat besmet kan word. ek is die reeds besmette bevolking, die mense wat aansteeklik is, en R staan ​​vir die herstelde bevolking, mense wat nie meer aansteeklik is nie.

2.1.1 Differensiaalvergelykings

Die SIR model kan gedefinieer word deur die volgende gewone differensiaalvergelykings 2.1 te gebruik:

• Die terme dS/dt , dI/dt , dR/dt dui in die differensiaalvergelykings die tempo van verandering van die vatbare bevolkingsgrootte, die besmette bevolkingsgrootte en die herwonne bevolkingsgrootte onderskeidelik aan.

• Die terme β en α dui onderskeidelik die aanvalsyfer aan (aantal vatbare persone wat per dag besmet word) en die herstelkoers van die griep (omgekeerd van die aantal dae wat 'n persoon besmet bly).

• Hoë waarde van α beteken 'n persoon sal vir minder aantal dae en hoë waarde van griep besmet word β beteken dat die epidemie vinnig sal versprei.

• Ook, soos van onder af gesien kan word, kan uit die differensiaalvergelykings aangetoon word dat die populasie (S + I + R) word aanvaar as konstant.

2.1.2 Versamelde data, eenhede en waardes vir die konstantes

• Soos gesien kan word uit die volgende figuur 2.2, sal die fokus van hierdie analise beperk word tot die bevolking in Kolkata Metropolitan Corporation (KMC, XII) area waar die bevolking aanvaar kan word as ≈ 4.5 miljoen of 4500 duisende, soos per [ 7].

Eenhede

– Alle bevolkingseenhede (S, I, R) sal in duisende persone wees (sodat totale bevolking
N = 4500).
– Soos afgelei kan word uit die differensiaalvergelykings 2.1, sal die eenheid van β in wees
10^(−6) /persone/dag (β = 25 sal beteken 25 persone uit 'n miljoen word besmet deur
vatbaar-besmette kontak per besmette persoon per dag).
– Net so sal die eenhede van α in 10^(−3) / dag wees (α = 167 sal 167 × 10^(−3) beteken /
dag word van die griep per dag herstel).

• Die aanvalsyfer is 20-29/100000 en die aantal dae wat besmet is (d.i. die omgekeerde van hersteltempo) = 5-7 dae gemiddeld (met 'n paar uitsonderings), soos per [3].

• Tipiese waardes vir β en α kan as onderskeidelik 25 /persoon / dag en 10^3/6 ≈ 167 / dag aanvaar word.

2.2 Vereenvoudigde Model 1 (met α = 0)

• Aanvanklik word 'n vereenvoudigde model geskep met die veronderstelling dat α = 0 (/dag) en dat R = 0, so sodra 'n persoon besmet is, bly 'n persoon vir altyd aansteeklik. Omdat S(t) + I(t) + R(t) = S(t) + I(t) = N konstant is (aangesien populasiegrootte N vas is), kan S(t) uitgeskakel word en 'n enkele differensiaalvergelyking in net I(t) word verkry soos getoon in die vergelyking hieronder 2.2.

• Laat ook die (vaste) bevolkingsgrootte N = 4500 = S(0) + I(0), (in duisend persone), aanvanklik die aantal persone wat besmet is = I(0) = 1 (in duisend persone) en getal van persone vatbaar S(0) = N −I(0) = 4499 (in duisend persone), onderskeidelik. Laat β = 25 × 10^(−6) /persone / dag) om mee te begin.

2.2.1 Analitiese Oplossing

• Die analitiese oplossing kan gevind word deur die stappe te volg wat in die Bylaag A getoon word en die finale oplossing word in die onderstaande vergelykings 2.3 getoon:


• Die volgende figuur 2.3 toon die logistieke (begrensde) groei in I(t) (in duisende persone) w.r.t. die tyd (in dae) vir verskillende waardes van aanvaltempo β×10^(−6) (/ persoon / dag). Soos verwag, hoe hoër die aanvalsyfer, hoe vinniger raak al die persone in die bevolking besmet.

2.2.2 Om die ewewigspunte vir I te vind

• Die ewewigspunte is die punte waar die tempo van verandering in I nul is, die punte wat aan die volgende vergelyking voldoen

biol-2022/8175/image_5A02OYot2iOV6hgJA.png?w=150&h=86 150w" sizes="(maks-breedte: 236px) 100vw, 236px" />

• As 'n klein omgewing van die ewewigspunt by I = 0 in ag geneem word, kan dit uit die figuur 2.4 gesien word dat wanneer ek > 0, dI/dt > 0, so I verhoog en gaan weg van die ewewigspunt.

• Gevolglik is die ewewigspunt by I = 0 onstabiel.

• By I = N = 4500 (in duisend persone) is dit 'n stabiele ewewig. Soos gesien kan word uit die volgende figuur 2.4, in 'n klein omgewing van die ewewigspunt by I = 4500, neem dit altyd toe / verminder dit na die ewewigspunt toe.

• In 'n klein ε > 0 woonbuurt by I = 4500 (in duisend persone),

1. dI/dt > 0, dus I verhoog wanneer I <= 4500 − ε .
2. dI/dt > 0, dus I verminder wanneer I >= 4500 + ε .

• Dieselfde kan uit die rigtingvelde van figuur 2.5 waargeneem word.

• Gevolglik is die ewewig by I = 4500 stabiel.

2.2.3 Numeriese Oplossing met die Euler-metode

• Die algoritme (uit die kursusskyfies geneem) wat in die volgende figuur 2.6 getoon word, sal gebruik word vir numeriese berekening van die (ewewig) oplossing deur die Euler se metode te gebruik.

• Soos gesien kan word uit die figuur 2.6, kan die infeksie by die volgende tydstap (lineêr) benader word (iteratief) deur die som van die die infeksie huidige tydstap met die produk van die verskil in tydstap en die afgeleide van die infeksie geëvalueer op die huidige tydstip.

2.2.3.1 Vind die regte stapgrootte (met β = 25 × 10^(−6)/persoon/dag)

• Om die beste stapgrootte vir die Euler-metode te besluit, word eers die Euler se metode met verskillende stapgroottes uitgevoer soos in die figuur 2.7 getoon.

• Soos gesien kan word uit die volgende tabel 2.1 en die figuur 2.7, vind die grootste verskille in die waarde van I (met twee opeenvolgende stapgroottes) ongeveer 78 dae plaas:


• Soos gesien kan word uit die tabel in die Bylaag B, is die eerste keer wanneer die fout minder as 1 persoon (in duisende) word met die stapgrootte 1/512 , dus sal hierdie stapgrootte vir die Euler-metode gebruik word.

2.2.3.2 Berekening van die (stabiele) ewewigspunt

• Nou, hierdie tydstap sal gebruik word om die probleem op te los om die ewewigstyd te vind teq(in dae). Soek teq sodanig dat N − I(teq) < ε = 10^(−6) , die verkrygde oplossing is teq = 272,33398 dae ≈ 273 dae.

• Nou, uit die analitiese oplossing 2.3 en die volgende figuur 2.8, kan dit geverifieer word dat die teq-oplossing wat die Euler se metode verkry het redelik akkuraat is (tot die ε-toleransie).

2.2.3.3 Resultate met β = 29 × 10^(−6) / persoon / dag, I(0) = 1 persoon

• Na dieselfde herhalings as hierbo, word die steilste fout by t = 67 dae in hierdie geval verkry, soos in figuur 2.9 getoon.

• Die eerste keer wanneer fout minder as een persoon word vir t = 67 dae met die Euler se metode is met stapgrootte 1/512 weer.

• Die oplossing verkry is teq = 234,76953125 dae ≈ 235 dae, dus word die ewewig (wanneer al die populasie besmet raak) vroeër soos verwag verkry, aangesien die aanvaltempo β hoër is.

2.2.3.4 Resultate met β = 25 × 10−6 / persoon / dag, met verskillende beginwaardes vir besmette persone (I(0))

• Na dieselfde iterasies as hierbo, word die ewewigspunt bereken deur gebruik te maak van die Euler se metode met verskillende waardes van aanvanklike besmette populasie I(0), soos getoon in die figuur 2.10.

• Die oplossings wat verkry is, is teq = 272.33, 258.02, 251.85, 248.23, 245.66, 245.66 dae vir I(0) = 1, 5, 10, 15, 20 dae, onderskeidelik. Die ewewig word dus vroeër verkry wanneer die aanvanklike besmette bevolkingsgrootte hoër is, soos verwag.

2.3 Vereenvoudigde Model 2 (met β = 0)

• Vervolgens word nog 'n vereenvoudigde model oorweeg deur aan te neem dat β = 0 en dat α > 0, sodat die griep niemand meer kan besmet nie (vatbaar, indien enige, moontlik omdat almal besmet is), herstel 'n besmette persoon met spoed van griep α. Hierdie situasie kan weer beskryf word met 'n enkele differensiaalvergelyking in net I(t) soos getoon in die vergelyking hieronder 2.4.

biol-2022/8175/image_v25E7ScR9do2T4xDhL.png?w=150&h=30 150w" sizes="(maks-breedte: 351px) 100vw, 351px" />

• Laat ook die hele bevolking besmet word, N = 4500 = I(0), (in duisend persone), aanvanklik die aantal persone wat vatbaar is = S(0) = 0, onderskeidelik. Laat α = 167 × 10^(−3)
(/ dag) om mee te begin.

2.3.1 Analitiese Oplossing

• Die analitiese oplossing kan gevind word deur die stappe te volg wat in die onderstaande vergelykings 2.5 getoon word:

• Die volgende figuur 2.11 toon die eksponensiële verval in I(t) (in duisend persone) w.r.t. die tyd (in dae) vir verskillende waardes van hersteltempo α × 10^(−3) (/ dag). Soos verwag, hoe hoër die herstelkoers, hoe vinniger raak al die persone in die bevolking van die infeksie ontslae.

• Nou, I(t) + R(t) = N (aangesien S(t) = 0 vir ewig, aangesien geen infeksie meer is nie) en I(0) = N, kombineer met die bogenoemde analitiese oplossing I(t) = I(0).exp(−αt) = N.exp(−αt), word die volgende vergelyking verkry:

• Die volgende figuur 2.12 toon die groei in R(t) (in duisend persone) w.r.t. die tyd (in dae) vir verskillende waardes van hersteltempo α × 10^(−3) (/ dag). Soos verwag, hoe hoër die herstelkoers, hoe vinniger beweeg al die persone in die bevolking na die verwyderde staat.

2.3.2 Numeriese Oplossing met die Euler's Metode

2.3.2.1 Oplossing met α = 167 × 10−3 / dag

• Deur dieselfde iterasies as hierbo te volg, word die steilste fout by t = 6 in hierdie geval verkry, soos in die figuur 2.16 getoon.

• Die eerste keer wanneer fout minder as een persoon word vir t = 67 met die Euler se metode is met stapgrootte 1/256 .

• Die oplossing verkry met die Euler se metode is 133.076171875 dae ≈ 133 dae om die infeksie van populasie met 10^(−6) toleransie te verwyder. Van die analitiese oplossing,
I(133) = N.exp(−αt) = 1.016478E−06, soortgelyke resultaat word verkry.

2.3.2.2 Resultate

Die volgende figuur 2.16 toon die oplossings wat verkry is met verskillende stapgroottes deur die Euler se metode te gebruik.

2.4 Generiese model (met α, β > 0)

Eerstens sal die numeriese oplossing vir die generiese model gepoog word (met die Euler se metode) en dan sal 'n paar analitiese insigte vir die generiese model afgelei word.

2.4.1 Numeriese Oplossing met die Euler's Metode

• Die volgende algoritme 2.14 wat in die volgende figuur getoon word, gaan gebruik word om die oplossing deur Euler-metode te verkry (die basiese program vir Euler se metode, aangepas om drie afhanklike veranderlikes en drie differensiaalvergelykings in te sluit).

• Soos gesien kan word uit die figuur 2.14, word eers die vektor X(0) gevorm deur die drie veranderlikes S, I, R te kombineer by tydstap 0. Dan kan waarde van die vektor by die volgende tydstap (lineêr) benader word (iteratief ) deur die (vektor) som van die vektorwaarde op die huidige tydstap met die produk van die verskil in tydstap en die afgeleide van die
vektor geëvalueer op die huidige tydstap.

2.4.1.1 Ekwilibriumpunte

• By die ewewigspunt,

Daar sal geen besmette persoon by die ewewigspunt wees nie (infeksie moet verwyder word).

• Soos gesien kan word uit die volgende figuur 2.15 ook, ek = 0 is 'n ewewig punt, wat redelik verwag word, aangesien in die ewewig al die besmette bevolking na die verwyderde toestand sal beweeg.

• Ook by elke punt die invariant S + I + R = N hou.

• In hierdie spesifieke geval wat in figuur 2.15 getoon word, word die vatbare populasie S ook 0 by ewewig (aangesien al die populasie aanvanklik besmet is, moet almal na verwyderde toestand beweeg) en R = N = 4500 (in duisend persone).

2.4.1.2 Resultate met Euler-metode

• Soos in die vorige afdelings verduidelik is, is dieselfde iteratiewe metode om die regte stapgrootte vir die Euler-metode te vind. Die minimum van die twee trapgroottes wat bepaal is, is
∆t = 1/512 dag en weer gaan hierdie stapgrootte vir die Euler se metode gebruik word.

• Die volgende figure toon die oplossings wat verkry is met verskillende waardes van α, β met die aanvanklike besmette populasiegrootte I(0) = 1 (in duisend persone). Hoër waardes vir die parameter β verkry uit die literatuur word vir simulasie gebruik, aangesien β = 25 × 10^(−6) /persoon /dag te klein is (met die resultate nie interessant nie) vir die groei van die epidemie deur gebruik te maak van die Euler se metode (ten minste tot ∆t = 1/ 2^15), waarna die iteratiewe Euler se
metode word baie stadig).

• Soos gesien kan word, uit die figure 2.16, 2.17 en 2.19, by ewewig, word I nul.

• Die oplossing (aantal dae om ewewig te bereik) verkry by α = 167×10^(−3) /dag en β = 25×10^(−5) /persoon /dag is teq = 143.35546875 ≈ 144 dae met I(0) = 1 (in duisend persone), die ooreenstemmende syfer is figuur 2.16.

• Die oplossing (aantal dae om ewewig te bereik) verkry by α = 167 × 10^(−3) /dag en β = 5 × 10^(−5) /persoon /dag is teq ≈ 542 dae met I(0) = 1 (in duisend persone), die ooreenstemmende syfer is figuur 2.17.

• Dus, hoër die β-waarde, word die ewewig baie vroeër bereik.

• Die oplossing verkry by α = 500 × 10^(−3) /dag en β = 25 × 10^(−5) /persoon /dag is
teq ≈ 78 dae met I(0) = 1 (in duisend persone), die ooreenstemmende syfer is figuur 2.19.

• Dus, hoër die α-waarde, word die ewewig vroeër bereik.

• Die oplossing verkry by α = 167×10^(−3) /dag en β = 25×10^(−5) /persoon /dag is
teq = 140 dae met I(0) = 10. Dus, soos verwag, hoër die aantal aanvanklike besmette bevolkingsgroottes, vinniger word die ewewig bereik.

• By ewewig word S nie noodwendig naby aan nul nie, aangesien die hele populasie soms nooit besmet raak nie, soos in figuur 2.17 getoon, waar die vatbare populasie by ewewig nie-nul is nie.

• Soos gesien kan word uit die fasevlakke van volgende figuur 2.21, word die besmette populasie by ewewig 0.

2.4.2 Analitiese oplossing en insigte

2.4.2.1 Basiese Reproduksienommer (R0)

Die basiese reproduksienommer (ook genoem basiese voortplantingsverhouding) word gedefinieer deur
R0 = β / α (eenheid is /dag). Soos verduidelik in [2], word hierdie verhouding afgelei as die verwagte aantal nuwe infeksies (hierdie nuwe infeksies word soms sekondêre infeksies genoem) van 'n enkele infeksie in 'n populasie waar alle proefpersone vatbaar is. Hoe die dinamika van die stelsel van R0 afhang, sal vervolgens bespreek word.

2.4.2.2 Die dinamika van die sisteem as 'n funksie van R0

• Deur die eerste vergelyking deur die derde in 2.1 te deel, soos gedoen in [2], word die volgende vergelyking verkry:

• Nou, by t → ∞, moet die ewewig reeds bereik gewees het en alle infeksies moet verwyder gewees het, sodat lim (t→∞) I(t) = 0.

• Dan uit die bogenoemde vergelyking 2.7, R∞ = N − S(0).exp(R0.(R∞−R(0)))
.
• Soos verduidelik in [2], toon die bogenoemde vergelyking dat aan die einde van 'n epidemie, tensy
S(0) = 0, nie alle individue van die bevolking het herstel nie, so sommige moet vatbaar bly.

• Dit beteken dat die einde van 'n epidemie veroorsaak word deur die afname in die aantal besmette individue eerder as 'n absolute gebrek aan vatbare proefpersone [2].

• Die rol van die basiese reproduksienommer is uiters belangrik, soos verduidelik in [2]. Uit die differensiaalvergelyking kan die volgende vergelyking verkry word:

S(t) > 1/R0dI(t)/dt > 0 ⇒ daar sal 'n wees behoorlike epidemie uitbreek met 'n toename in die aantal aansteeklikes (wat 'n aansienlike fraksie van die bevolking kan bereik).

S(t) < 1 R0 ⇒ dI(t) dt < 0 ⇒ onafhanklik van die aanvanklike grootte van die vatbare bevolking kan die siekte nooit 'n behoorlike epidemiese uitbreek veroorsaak nie.

• Soos gesien kan word uit die volgende figure 2.21 en 2.22 (van die simulasieresultate verkry met Euler-metode), wanneer S(0) > 1/R0 , is daar 'n piek in die infeksiekurwe, wat 'n behoorlike epidemiese uitbreek aandui.

• Ook uit die figure 2.21 en 2.22, wanneer S(0) > 1/R0 , hoe hoër die gaping tussen S(0) en 1/R0 , hoe hoër die piek is (hoe meer mense word besmet) en hoe vinniger word die piek bereik.

• Weereens, vanaf die figuur 2.22, wanneer 4490 = S(0) < 1/R0 = 5000, dit veroorsaak nooit 'n behoorlike epidemiese uitbreek nie.

biol-2022/8175/image_dx5xCoM76ghoZ2XN.png?w=197&h. 197w" groottes="(maks-breedte: 619px) 100vw, 619px" />

• Weereens, deur die tweede vergelyking deur die eerste in 2.1 te deel, word die volgende vergelyking verkry:

• Soos uit die bostaande figuur 2.23 opgemerk kan word dat omdat die formules slegs deur 'n additiewe konstante verskil, hierdie krommes almal vertikale vertalings van mekaar is.

• Die lyn I(t) = 0 bestaan ​​uit ewewigspunte.

• Begin by 'n punt op een van hierdie krommes met I(t) > 0, soos die tyd aanstap, moet 'n mens langs die kurwe na links beweeg (omdat dS/dt < 0), en uiteindelik teen 'n positiewe waarde van S nader. (t).

• Dit moet gebeur aangesien op enige van hierdie krommes, as I(t) → ∞, as S(t) → 0, vanaf vergelyking 2.8.

• Die antwoord op vraag (2) is dus dat die epidemie sal eindig met die benadering van een of ander positiewe waarde en dus moet daar altyd 'n paar vatbare stowwe oorbly.

• Soos gesien kan word uit die volgende figuur 2.24 (uit die simulasieresultate verkry met die Euler se metode), wanneer S(0) > 1/R0 , minder as die gaping tussen S(0) en 1/R0 , hoe hoër is die populasie bly vatbaar by ewewig (of by t → ∞).

Gevolgtrekkings

In hierdie verslag is die verspreiding van die pandemiese griep A (H1N1) wat 'n uitbreking in Kolkata, Wes-Bengale, Indië, 2010 gehad het, gesimuleer deur die basiese epidemie SIR-model te gebruik. Aanvanklik sal daar 'n klein aantal besmette persone in die bevolking wees, die meeste van die bevolking het vatbare persone gehad (steeds nie besmet nie, maar geneig om besmet te word) en geen verwyderde persone nie. Gegewe die aanvanklike waardes van die veranderlikes en die parameter (aanval en hersteltempo van die griep) waardes, is probeer om die volgende vrae met die simulasie/analise beantwoord te word:

1. Of die aantal besmette persone aansienlik toeneem, wat 'n epidemie veroorsaak, of die koors sal uitbrand.

2. Gestel daar is 'n epidemie, hoe sal dit eindig? Sal daar nog enige vatbare stowwe oor wees wanneer dit verby is?

3. Hoe lank sal die epidemie duur?
Die volgende gevolgtrekkings word verkry nadat die simulasies uitgevoer is met
verskillende waardes van die parameters en die beginwaardes van die veranderlikes:

1. Wanneer die hersteltempo α ≈ 0 of baie baie laag is in vergelyking met die aanvaltempo β (sodat R0 = β / α >> 1) en I(0) > 1, sal die griep 'n epidemie wees en die die hele bevolking sal eerste besmet word (hoe hoër β is, hoe vinniger breek die epidemie uit).

2. Om meer presies te wees, wanneer die aanvanklike vatbare populasie S(0) groter is as die inverse van die basiese reproduksiegetal 1/R0 = α / β, sal 'n behoorlike epidemie uitbreek.

3. Wanneer die aanvanklike vatbare populasie S(0) minder is as die inverse van die basiese reproduksiegetal 1/R0 = α/β, dan sal 'n behoorlike epidemie nooit uitbreek nie.

4. As die aanvanklike vatbare populasie nie-nul is, sal daar op die ou end (by ewewig) altyd een of ander vatbare populasie wees.

5. Wanneer daar 'n epidemie is, sal dit uiteindelik eindig in die ewewigspunt met 0 besmette populasie, hoe vinnig dit die ewewig bereik hang af van die hersteltempo (hoe hoër α is hoe vinniger die infeksie verwydering).

6. Die tyd om die ewewig te bereik kan met Euler-metode bereken word, dit hang af van die parameters α (hoe hoër hoe vinniger) en β (hoe hoër hoe vinniger) en die aanvanklike besmette bevolkte grootte I(0) (hoe hoër hoe vinniger) ).

7. Omvang van verbetering: Die SIR-model kan uitgebrei word na die Klassieke Endemiese Model [5] waar die geboorte- en sterftesyfers ook vir die bevolking in ag geneem word (dit sal veral nuttig wees wanneer 'n siekte lank neem om die ewewig te bereik staat).

biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=137 137w, biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=274 274w" sizes="(6609p:"x 609p:)>


Kyk die video: The MATH of Pandemics. Intro to the SIR Model (Oktober 2022).